Le système étudié ici est purement théorique mais c'est le plus simple que l'on puisse envisager pour l'étude de couplages multiples entre des oscillateurs. On trouvera la description d'un dispositif un peu plus complexe (chaîne de pendules reliés par des ressorts) mais effectivement réalisable dans l'article de R. Duffait paru dans le BUP n° 867 (octobre 2004).
On considère une chaîne de N masses identiques, équidistantes de a au repos et reliées par des ressorts identiques de raideur k. On pose ω0 = (k / m)½. Cette quantité correspond à la pulsation d'un oscillateur unique. Pour étudier la mise en équations et la résolution du système cliquer ici.
Il est relativement simple de déterminer les N fréquences propres du système mais il faut bien noter que la solution dans le cas général est une combinaison linéaire de termes correspondants à l'ensemble des N fréquences propres l'amplitude de chaque terme étant fonction des conditions initiales.
En régime forcé, un tel système va présenter une résonance à chaque fois que la fréquence d'excitation sera égale à une fréquence propre.
Pour ce système simple (masses et ressorts tous identiques), il est assez facile de calculer la relation de dispersion et d'en déduire les valeurs des fréquences propres. Pour des dispositifs plus complexes (masses et ressorts différents) seule la diagonalisation de la matrice est utilisable.
Rappel : Un système est dispersif quand la vitesse de propagation des ondes est fonction de la fréquence de l'onde. Si le signal n'est pas une onde pure il se déforme en cours de propagation.
Remarque : Les cas N = 2 et N = 3 sont traités complètement dans les pages 2 oscillateurs et 3 oscillateurs. On peut y voir en particulier l'influence des conditions initiales et de la superposition des modes propres.
Utilisation :
La liste de choix permet de la sélection du nombre N de masses.
Le curseur permet de modifier l'amplitude des oscillations.
La fenêtre
du bas contient N curseurs qui permettent de modifier l'amplitude de chacune des N fréquences propres.
Sous chaque curseur figure la valeur de la pulsation propre correspondante.
On suppose que toutes les élongations initiales et toutes les vitesses initiales sont nulles.
Donner successivement à chaque mode propre l'amplitude 1, l'amplitude de tous les autres modes étant nulle.
On peut ainsi observer chaque mode propre.
En donnant des amplitudes non nulles à plusieurs modes propres, on obtient une image de la solution générale du système.
La fenêtre du haut représente l'évolution du phénomène avec le temps.
Comme les vibrations longitudinales sont souvent difficiles à visualiser, dans la fenêtre du milieu j'ai représenté l'évolution temporelle des déplacements de chaque masse par rapport à sa position d'équilibre.
Enfoncer un bouton de la souris pour geler l'animation. Le relâcher pour poursuivre.
Pour la calcul des vecteurs propres et des valeurs propres nous avons utilisé la méthode de Jacobi. On trouvera une excellente description de cette méthode dans "Méthodes mathématiques pour calculateur arithmétique" de A. Ralston (Dunod 1965). Le code en Fortran, C et Pascal est disponible dans les différentes versions de "Numerical Recipes" de A. Press et al (Cambridge University Press)