Avec 3 oscillateurs quelconques, le nombre de paramètres indépendants étant trop grand, nous avons choisi de prendre tous les ressorts identiques. On néglige les frottements.
Les pulsations des oscillateurs indépendants sont ω12 = K / M1, ω22 = K / M2. ω32 = K / M3.
Chaque masse est soumise à la force de rappel des deux ressorts qui lui sont liés.
Les équations du mouvement sont donc :
Si les trois masses sont égales la résolution du système donne pour les valeurs propres :
Afin de pouvoir traiter tous les cas, dans le programme, ce système d'équations différentielles couplées est résolu numériquement en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.
Par hypothèse, la vitesse initiale des masses est toujours nulle.
On peut constater que pour des conditions initiales quelconques la solution est en général d'aspect complexe. C'est une combinaison linéaire des trois modes propres.
Elle est de la forme : Xi = Ai.cos(ωp.t) + Bi.cos(ωq.t) + Ci.cos(ωr.t) (i = 1 , 2, 3)
Les valeurs des constantes Ai ,Bi et Ci sont fonction des conditions initiales.
Pour la détermination des fréquences propres consulter la page sur la chaîne d'oscillateurs.
Utilisation :
La valeur X1 de l'amplitude initiale du premier pendule est toujours égal à +1.
La valeur de K est égale à 1 N/m et M2 = 1kg.
Avec des valeurs identiques des masses (M1 / M2 = 1) et (M3 / M2 = 1), testez les cas :
a) X2 = 0; X3 = -1;
b) X2 = 1,414; X3 = 1
c) X2 = -1,414; X3 = 1
Ces conditions initiales correspondent aux trois modes propres.
Vérifier (grossièrement à cause de la résolution) que les pulsations propres sont égales à 0,765, 1,414, 1,847 (en unités (K/M)½ .
Pour des conditions initiales quelconques, le mouvement des masses est complexe.
L'aspect des courbes obtenues pour les modes propres montre la fiabilité de la méthode de Runge-Kutta pour ce système à 6 inconnues (3 positions et 3 vitesses).
Il suffit de valider la dernière valeur saisie dans les zones de texte.