On considère une poulie de masse M_p, de rayon R dont le moment d'inertie est I_p = ½.M_p.R².
A la distance r du centre O de la poulie, on fixe une masse ponctuelle m. A l'extrémité d'un fil enroulé sur la poulie, on attache une masse M. Soit φ l'angle entre la verticale et Or. On néglige tous les frottements.

Équilibre du système :
Le système est en équilibre si les moments des poids Mg et mg sont égaux.
MgR = mgrsin(φ_e) soit sin(φ_e) = MR /mr.
L'équilibre n'est possible que si MR ≤ mr.
On suppose par hypothèse que l'énergie potentielle du système est nulle quand φ = 0.
Quand la masse m a tourné de l'angle φ, la masse M s'est déplacée de R.φ. L'énergie devient :
E_P(φ) = mgr(1 − cos(φ)) − MgRφ
Les positions d'équilibre correspondent aux zéros de la dérivée de E_P .
On retrouve ainsi que le système est en équilibre si sin(φ_e) = MR /mr.
Il existe deux valeurs possibles :
φ_e qui correspond à un minimum de E_P (équilibre stable) et π − φ_e qui correspond à un maximum de E_P (équilibre instable).
Si MR > mr E_P est une fonction toujours décroissante de φ.

Étude dynamique du système :
On laisse le système évoluer librement à partir de la position φ = ψ.
La masse M est soumise à son poids et à la tension T du fil : Mg − T = Mγ
Pour la poulie et la masse m, on a I₀.d²φ / dt² = T.R − mgrsin(φ) avec I₀ = I_P + m.r²
Comme R.d²φ / dt² = γ, en éliminant T, on tire : (I₀ + MR²).d²φ / dt² = g(MR − mrsin(φ))
Finalement en posant I = I_P + mr² + MR², on obtient I.d²φ / dt² = g(MR − mrsin(φ))
On obtient une relation du même type que celle du pendule simple.
Cette équation est intégrée numériquement en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.
On suppose que pour t = 0, dφ / dt = 0.
L'énergie cinétique du système est E_C = ½.I₀.(dφ / dt)² + ½.M.v² soit E_C = ½.I.(dφ / dt)².
Le programme calcule à chaque pas, φ, dφ / dt, E_P, E_C et E_T = E_C + E_P.
Petites oscillations autour d'une position d'équilibre φ_e
On pose φ = φ_e + ψ. On obtient l'équation I.d²ψ / dt² = g(MR − mrsin( φ_e + ψ))
Par hypothèse ψ est petit et sin(ψ) ≈ ψ et cos(ψ) ≈ 1.
Avec ces approximations, il vient : I.d²ψ / dt² = − mgrcos(φ_e). ψ qui est l'équation d'un oscillateur harmonique de période T
Montrer en utilisant cos²a = 1 − sin²a que :
T₀ = 2π.[ I / g.(m²r² − M²R²)^½ ]^½

Utilisation
Dans le programme, on prend R = 80 cm et r = 40 cm. Le programme est arrêté lorsque φ devient supérieur à 180°. En effet à partir de ce moment, toute oscillation devient impossible.
Les curseurs bleu et rouge permettent de modifier les valeurs de M et de m. La liste de choix permet de modifier la valeur du moment d'inertie de la poulie. Examiner son effet sur la période et sur l'amplitude des oscillations.
Le curseur gris permet de choisir la valeur de l'angle φ à l'instant initial.
On pourra prendre une valeur voisine de l'angle d'équilibre et noter que dans ce cas, la période est très voisine de la valeur calculée T₀. A contrario, vérifier que pour de grandes amplitudes d'oscillation, la valeur de la période s'écarte sensiblement de T₀ et que la valeur mesurée est proche de T = T₀.(1 + φ² / 16). Consulter par exemple la page sur la période du pendule simple.
On peut constater que même après un grand nombre de pas, la valeur de l'énergie totale E_T reste pratiquement nulle ce qui montre la qualité de la méthode d'intégration utilisée.
Un clic droit gèle l'animation. Elle reprend quand on lâche le bouton.