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Rappels :
a)
La distance focale d'une lentille mince d'indice n et dont les faces ont pour rayons R1 et R2 est donnée par la relation :
1 / F' = (n − 1)(1 / R1 − 1 / R2). Sa vergence est donc V = k.(n − 1)
Comme l'indice est fonction (non linéaire) de la longueur d'onde, la distance focale varie avec la couleur de la lumière.
Une lentille est entachée d'aberration chromatique longitudinale que l'on peut évaluer par dF' / F' = − dn / (n − 1).
Cette aberration est fonction du matériau constituant la lentille et ne peut être diminuée en diaphragmant celle-ci.
Il existe aussi une aberration transversale proportionnelle à l'ouverture de la lentille.
b) Pour caractériser le pouvoir dispersif d'un verre, on définit la constringence ou nombre d'Abbe A qui est le nombre sans dimensions :
A = (nd − 1) / (nF − nC). Dans cette relation, nd est la valeur de l'indice pour la raie d du mercure 587,6 nm, nC celle pour la raie C de l'hydrogène 656,3 nm et nF celle pour la raie F de l'hydrogène (486,1 nm).
Il existe deux familles de verres optiques les "crown" avec n de l'ordre de 1,50 et A voisin de 60 et les "flint" avec n de l'ordre de 1,625 et A voisin de 35.
Correction des aberrations chromatiques.
On peut effectuer une très bonne correction en utilisant deux lentilles minces accolées.
La vergence de l'ensemble est V = V1 + V2 = k1.(n1 − 1) + k2.(n2 − 1)
La variation de vergence pour les raies F et C est donc dV = k1.(n1F − n1C) + k2.(n2F − n2C).
De plus les vergences moyennes sont : V1d = k1.(n1d − 1) et V2d = k2.(n2d − 1).
Donc dV = V1d.(n1F − n1C) / (n2d− 1) + V2d.(n2F - n2C) / (n2d -1).
En introduisant les constringences, il vient : dV = V1d / A1 + V2d / A2.
Les distances focales pour les raies C et F seront identiques si : V1d / A1 + V2d / A2 = 0.
De V = V1 + V2 et de V1d / A1 + V2d / A2 = 0, on tire : V1d = Vd.A1 / (A1 − A2) et V2d = − Vd.A2 / (A1 − A2).
Les deux lentilles doivent être faites avec des verres différents et il faut associer une lentille convergente à une lentille divergente.
Il existe de nombreuses réalisations pratiques de doublets achromatiques :
doublet Littrow CV crown R1 = R2, DV flint R3 = − R2, R4 = ∞
doublet Clark
CV crown R1 = R2, DV flint R3 ≈ − R2, R4 >> R3
doublet Fraunhofer CV crown R1 > R2, DV flint R3 ≈ − R2, R4 > R3 ...
Il faut que les rayons
de courbure de la face de sortie de la première lentille et de la face d'entrée de la seconde soit identiques pour supprimer un interface verre-air-verre.
Remarque : On peut aussi fabriquer des achromats en utilisant un doublet. L'épaisseur du doublet introduit une variable supplémentaire qui permet d'utiliser des lentilles de même nature et de même matériau. On peut montrer que l'oculaire de Huygens est achromatique. (Pour deux verres de même nature, la condition d'achromatisme est 2.e = F'1 + F'2).
Exercice : Déterminer les lentilles à utiliser pour fabriquer un achromat convergent de 20 cm de distance focale en utilisant les verres dont les caractéristiques sont données dans le tableau :
Radiation |
C |
D |
F |
λ(nm) |
656,3 |
587,6 |
486,1 |
crown |
1,5153 |
1,5179 |
1,5241 |
flint |
1,6182 |
1,6231 |
1,6355 |
Réponse : Lentille convergente en crown de focale 7,8 cm et lentille divergente en flint de focale −12,8 cm.
Utilisation Applette 1 :
Un premier curseur permet de choisir la valeur de la distance focale Fd du doublet pour la raie d.
Les deux autres curseurs permettent de faire varier les valeurs des distances focales Ffd et Fcd des deux lentilles qui constituent le doublet.
Le programme trace en bleu la courbe donnant la variation de la distance focale Ff(λ) d'une lentille en flint pour laquelle Ffd est égale à Fd en fonction de la longueur d'onde, en jaune la courbe Fc(λ) pour une lentille en crown et en rouge la courbe F(λ) du doublet résultant.
Attention cette courbe n'est visible que dans la plage
(Fd − 6 cm)-(Fd + 2 cm).
Le bouton [Réponse] affiche les valeurs optimales de
Ffd et Fcd. On peut constater que même si cette condition n'est pas réalisée, l'association des deux lentilles diminue fortement l'aberration chromatique longitudinale.
Utilisation Applette 2 :
Le premier curseur permet de choisir la valeur de la distance focale Fd du doublet pour la raie d.
Le second curseur permet de choisir la valeur de la distance focale Fc de la lentille en crown. Le programme calcule la distance focale de la lentille en flint qui donne un doublet de distance focale Fd.
Le dernier curseur permet de choisir la valeur de la longueur d'onde (raies r, C, d, e, F, g ou h).
Le programme détermine la distance
focale pour chacune des raies et permet ainsi de faire le choix de la distance focale de la lentille de crown
qui donne l'aberration chromatique longitudinale minimale.
Données utilisées pour les deux applettes:
Les valeurs utilisées correspondent aux verres SCHOTT N-F2 (flint avec A =36,43) et N-KB10 (crown avec A = 67)
| Raie | r (Hélium) | C (hydrogène) | d (Mercure) | e (Mercure) | F (hydrogène) | g (Mercure) | h (Mercure) |
| Longueur d'onde (nm) | 706,5 | 656,3 | 587,5 | 546,1 | 486,1 | 435,8 | 404,6 |
| N-F2 (flint) | 1,61229 | 1,61506 | 1,62005 | 1,62408 | 1,63208 | 1,64209 | 1,65087 |
| N-BK10 (crown) | 1,49419 | 1,49552 | 1,49782 | 1,49960 | 1,50296 | 1,50690 | 1,51014 |