En 1892 Poincaré a proposé de représenter l'état de polarisation d'une onde lumineuse par un point de la surface d'une sphère de rayon unité et de pôles P et P'.
L'utilisation de la projection stéréographique de la sphère et de l'abaque de Wulff permettent d'obtenir rapidement une solution graphique de ces problèmes avec une précision de l'ordre du demi-degré.
L'utilisation de la trigonométrie sphérique permet l'obtention des solutions rigoureuses.
Pour une étude détaillée de la sphère de Poincaré, on peut consulter :
F. BRENAT, B. WYNCKE : Représentation des états de polarisation des ondes lumineuses. Publibook (ISBN 2748302168).

L'axe Ox est l'axe rapide d'une lame cristalline et Oy son axe lent Oy.

Représentation d'une rectiligne :
Une vibration rectiligne R faisant l'angle α avec Ox est représentée par le point R de l'équateur de la sphère tel que l'angle AOR soit égal à 2α. L'axe Ox est représenté par le point A et Oy par B.

Représentation d'une elliptique :
Une elliptique est obtenue par l'effet d'une lame qui introduit un déphasage φ sur une rectiligne inclinée de α sur Ox.
On montre que cette caractérisation naturelle par φ et α est équivalente à sa caractérisation par θ (angle entre le grand axe de l'ellipse et Ox et ψ tel que excentricité B / A = e = tan(ψ).
On a : sin(2ψ) = sin(2α). sin(φ) et tan(2θ) = tan(2α). cos(φ). (a)
Les relations inverses sont : tan(φ) = tan(2ψ) / sin(2θ) et cos(2α) = cos(2ψ).cos(2θ). (b)
Une vibration elliptique est représentée par le point M de longitude 2θ et de latitude 2ψ.
Les points d'un même méridien (θ constant) correspondent à des ellipses de mêmes axes alors que les points d'un parallèle correspondent à des ellipses de même excentricité.
On note AM l'arc de grand cercle AM (côté AM du triangle sphérique AHM) et A l'angle en A de ce triangle.
Comme le triangle sphérique AHM est rectangle (l'angle AHM est droit) les relations générales se simplifient.
La relation des cosinus donne : cosAM = cosAH.cosHM. (c)
On a aussi tan(A) = tan(HM) / sin (AH) = tan(2ψ) / sin(2θ) (d)
La comparaison des relations (c) et (d) avec les relations (a) et (b) montre que :
AM = 2α et A = ∠HAM = φ
Ce résultat justifie le choix initial de la représentation d'une elliptique.
Les points de l'hémisphère Nord correspondent aux vibrations de sens direct et ceux de l'hémisphère Sud aux vibrations de sens inverse. Les vibrations circulaires (e = ±1 ou tanψ = ±1 soit ψ = ± π / 4) correspondent aux points P (directes) et P' (inverses).

Action d'une lame M sur une vibration rectiligne
La vibration rectiligne est représentée par le point R de l'équateur de longitude 2α. La lame introduit un déphasage φ. Après traversée, on obtient une elliptique caractérisée par le point M tel que AM = 2α et RAM = φ.
Le point M est sur le petit cercle passant par R et il se déduit de R par une rotation d'angle φ autour du point A.
La construction est très simple à réaliser sur une abaque de Wulff.
Cas particuliers :
Lame onde (φ = 2.π) M est confondu avec R : la vibration n'est pas changée.
Lame demi-onde (φ = π) M est sur l'équateur : la vibration est symétrique de l'incidente par rapport à Ox.
Lame quart d'onde (φ = π / 2) M est sur le méridien passant par A : la vibration est une elliptique ayant les mêmes axes que la lame (θ = 0 et ψ = α). Si de plus α = π / 4 M est confondu avec P : La vibration est circulaire.

Action d'une lame M sur une vibration rectiligne
La vibration elliptique incidente est représentée par le point M1. On peut considérer que cette elliptique est le résultat de l'action d'une première lame, de mêmes axes que la seconde, sur une rectiligne faisant l'angle α avec Ox et dont le déphasage est φ1.
Si φ2 est le déphasage du à la lame, la vibration résultante est une elliptique caractérisée par le point M2 tel que AM2 = 2α et RAM2 = (φ1 + φ2).

Utilisation
La partie droite correspond à la représentation plane des vibrations.
Les correspondances entre les angles φ, α et θ, ψ sont indiquées.
Cliquer avec le bouton droit dans la cadre pour geler l'animation.

La partie gauche correspond à une représentation 3D de la sphère de Poincaré.
Glisser la souris dans le cadre pour modifier l'angle d'observation.
Le cercle en pointillés brun est le petit cercle de rayon ρ = sin(2α).