On considère le système ci-contre (machine d'Atwood).

Deux masses identiques M sont reliées par un fil inextensible passant sur une poulie de rayon R et de moment d'inertie I.
Contrairement à la machine classique la surcharge m n'est pas placée directement sur la masse de droite mais elle accrochée à une distance AB = L au-dessus de M.
On néglige tous les frottements ainsi que le moment d'inertie de la poulie.

Étape 1.
A l'instant t = 0, on libère le système. La vitesse initiale de toutes les masses est nulle. Le bas de la masse M de droite (point C) est située à la distance Z du sol.
Du côté gauche on peut écrire :
M.g + T₁ = M.γ₁ (T₁ étant la tension du fil).
Du côté droit on peut écrire :
M.g + T'₂ = M.γ₁ et m.g + T'₁ + T₂ = M.γ₁ (T₂ et T'₂ étant les tensions aux extrémités du fil AB reliant les masses m et M).
Par projection sur un axe vertical, on obtient les équations scalaires suivantes :
T₁ − M.g = M.γ₁ (a)
M.g − T'₂ = M.γ₁ (b)
m.g + T₂ − T'₁ = m.γ₁ (c)
Les fils étant inextensibles on a T'₁ = T₁ et T'₂ = T₂.
En faisant la somme des trois équations, on tire :

γ₁ = m.g / (2.M + m)
La vitesse initiale étant nulle, l'équation du mouvement du point C (index rouge) est z = ½.γ₁.t².
La masse M de droite touche le sol à l'instant t = t₁ tel que Z = ½.γ₁.t₁².
La vitesse de la masse M est v = γ₁.t. Lors du contact avec le sol elle est V₁ = γ₁.t₁ soit

Étape 2 :
Si la masse M de droite est en contact avec le sol, il ne reste que les équations (a) et (c) avec T'₂ = T₂ = 0
L'accélération devient γ₂ = −(M − m).g / (M + m).
En prenant comme origine des temps l'instant du contact, l'équation du mouvement de A est y = ½.γ₂.t² + V₁.t.
Montrer que la vitesse du pont A et donc de masse de gauche s'annule quand la distance y est donnée par :

Remarque : Si y₂ est supérieur à L il faut reprendre l'analyse du problème car dans ce cas la masse m n'intervient plus dans le mouvement.

Étape 3 :
En prenant comme origine des temps l'instant ou la vitesse de A s'annule, l'équation de son mouvement devient y = ½.γ₂.t².
Au moment ou le fil AB se tend (y = y₂), la vitesse de la masse m est V₁ et la masse en mouvement devient 2.M + m.

Étape 4 :
Pour déterminer la vitesse initiale de la masse M de droite, on utilise la conservation de la quantité de mouvement Q :
Q Initiale = M.V₁ + m V₁ . Q Finale = M.V₂ + m.V₂ + M.V₂
Par projection sur un axe vertical on obtient V₁(M + m) = V₂(2.M + m)
Le système a un mouvement uniformement décéléré d'accélération −γ₁ et une vitesse initiale V₂ .
Montrer que la vitesse s'annule au bout d'un temps t = V₂ / γ₁ et que le point C s'est élevé de

On retrouve le système dans son état initial mais il faut remplacer Z par y₃. La simulation est stoppée à ce moment.

Données utilisées :
M = 2,5 kg;     Z = 1 m;      L = 0,2 m