Une fusée de masse initiale M0 (15000 kg) éjecte une masse A (140 kg) de gaz par seconde. La vitesse d'éjection des gaz est constante et égale à U (2100 m/s).
On admet que la fusée à un mouvement de translation verticale et une vitesse V. Dans le repère galiléen, la quantité de mouvement de la fusée et des gaz doit rester constante :
MV = (M + dM)(V + dV) − dM(U + V)
Soit : M.dV − UdM = 0. (1)
Comme dM / dt = A, il vient :
dV / dt = A.U / M (M = M0 − A.t)
Il faut aussi tenir compte de l'attraction terrestre et du frottements de l'air.
dV / dt = − g(z) + (A.U − f ) / M (2)
Pour l'altitude z, l'accélération de la pesanteur est donnée par :
g(z) = g0( R / (R + z ) )2
Le coefficient de frottement f est de la forme µ.Cx.S.V.V (S est la section, Cx est fonction de la forme de la fusée et µ est la masse volumique de l'air)
Pour µ(z), on peut utiliser la loi de variation (voir l'altimètre) déduite du modèle d'atmosphère en équilibre adiabatique.
Quand tout le combustible est épuisé (70 s de combustion) la fusée n'est plus soumise qu'à son poids et au frottement de l'air.
Utilisation :
On procède à l'intégration numérique de l'équation (2).
Une case à cocher permet de tenir compte ou non des frottements.
Une seconde case à cocher permet de travailler soit avec une valeur constante de g soit de tenir compte de la variation de g avec l'altitude.
On peut constater que l'influence de ces deux paramètres est faible. Dans la phase ascensionnelle et dans les couches denses de l'atmosphère, la vitesse est encore faible.
Par contre lors de la descente, le frottement du à l'air est important (voir la courbe de la vitesse).
L'élévation de température est considérable. Les trajectoires de rentrée dans l'atmosphère sont étudiées pour limiter au maximum cette élévation de température.