On étudie une chaîne linéaire de N masses équidistantes de a au repos et reliées par des ressorts identiques de raideur k. Les masses valent alternativement m et M.
Soient xj les déplacements des masses m et yj ceux des masses M.
On pose ω0 = (k / m)½.
L'équation du déplacement de la masse Mj est
: M.y"j = −k(yj − xj-1) + k(xj+1 − yj)
L'équation du déplacement de la masse mj est
: m.x"j+1 = −k(xj+1 − yj) + k(yj+2 − xj+1)
On cherche des solutions de la forme yj = Aj.cos(ω.t) et xj+1 = Aj+1.cos(ω.t)
On peut alors écrire l'ensemble des équations sous forme matricielle comme pour la chaîne formée de masses identiques.
Il est relativement simple de déterminer les N fréquences propres du système (ce sont les valeurs propres de cette matrice) mais il faut bien noter que la solution dans le cas général est une combinaison linéaire de termes correspondants à l'ensemble des N fréquences propres l'amplitude de chaque terme étant fonction des conditions initiales.
En régime forcé, un tel système va présenter une résonance à chaque fois que la fréquence d'excitation sera égale à une fréquence propre.
Remarque : Les cas N = 2 et N = 3 sont traités complètement dans les pages 2 oscillateurs et 3 oscillateurs. On peut y voir en particulier l'influence des conditions initiales et de la superposition des modes propres.
Utilisation :
La liste de choix permet de la sélection du nombre N de masses.
Les boutons [+] et [−] permettent de choisir l'indice M du mode propre (1 < M < N+1).
Le curseur permet de sélectionner la valeur du rapport entre les deux masses.
Les masses M sont représentées en rouge et les masses m en jaune.
Enfoncer le bouton droit de la souris pour geler l'animation. Le relâcher pour poursuivre.
La fenêtre du haut représente l'évolution du phénomène avec le temps.
Comme les vibrations longitudinales sont souvent difficiles à visualiser, dans la fenêtre du milieu on a représenté l'évolution temporelle des déplacements de chaque masse par rapport à sa position d'équilibre.
Les courbes en pointillés sont de simples guides pour les yeux et n'ont pas de sens physique.
Dans la fenêtre du bas on a représenté la courbe ωM = f(M). On constate que les points se répartissent sur deux branches quand les deux masses sont différentes. On pourra faire le rapprochement avec les branches acoustique et optique de la courbe de dispersion d'une chaîne diatomique infinie.