Les calculs
Dans l'espace périodique basé sur le référentiel $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$, les points $\text{O, P}\left( {{\text{x}}_{\text{1}}}\text{, }{{\text{y}}_{\text{1}}}\text{, }{{\text{z}}_{\text{1}}} \right)\text{ et M}\left( {{\text{x}}_{\text{2}}}\text{, }{{\text{y}}_{\text{2}}}\text{, }{{\text{z}}_{\text{2}}} \right)$ permettent de définir les vecteurs $\vec{v},\text{ }{{\vec{v}}_{1}}\text{ }et\text{ }{{\vec{v}}_{2}}$. |  |
Calculs d'angles
L'angle entre les 2 directions ${{\vec{v}}_{1}}\text{ }et\text{ }{{\vec{v}}_{2}}$ est obtenu en utilisant les propriétés du produit scalaire : $\cos ({{\vec{v}}_{1}},{{\vec{v}}_{2}})=\frac{{{{\vec{v}}}_{1}}\cdot {{{\vec{v}}}_{2}}}{{{v}_{1}}\cdot {{v}_{2}}}$.
Calculs de distances
On a :
$\vec{v}={{\vec{v}}_{1}}-{{\vec{v}}_{2}}\text{ et }\vec{v}=({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\cdot \vec{a}+({{y}_{2}}-{{y}_{1}})\cdot \vec{b}+({{z}_{2}}-{{z}_{1}})\cdot \vec{c}=\Delta x\cdot \vec{a}+\Delta y\cdot \vec{b}+\Delta z\cdot \vec{c}$.
D'où :
$PM=v={{(\vec{v}\cdot \vec{v})}^{1/2}}={{\left[ \Delta x\cdot \vec{a}+\Delta y\cdot \vec{b}+\Delta z\cdot \vec{c})\cdot (\Delta x\cdot \vec{a}+\Delta y\cdot \vec{b}+\Delta z\cdot \vec{c}) \right]}^{1/2}}$.
Il faut donc effectuer les produits scalaires en tenant compte des angles $\alpha \text{ },\text{ }\beta \text{ },\text{ }\gamma $ du référentiel.
Par exemple, dans le cas d'un référentiel triorthogonal ($\alpha \text{ }=\text{ }\beta \text{ }=\text{ }\gamma \text{ }=\text{ }\pi \text{ }/2$) l'expression de la distance se simplifie : $PM=v={{(\vec{v}\cdot \vec{v})}^{1/2}}={{\left[ \Delta {{x}^{2}}\cdot {{a}^{2}}+\Delta {{y}^{2}}\cdot {{b}^{2}}+\Delta {{z}^{2}}\cdot {{c}^{2}} \right]}^{1/2}}$.
Attention : cette expression générale de la distance entre 2 points représente une vraie distance (dimension d'une longueur) et doit être distinguée de l'expression du type $d={{\left[ \Delta {{x}^{2}}+\Delta {{y}^{2}}+\Delta {{z}^{2}} \right]}^{1/2}}$ qui n'est valable que dans le repère cartésien mathématique habituel (triorthogonal et sans dimension).
