Les empilements de sphères
Introduction
Pour modéliser la formation d'un solide par refroidissement d'un liquide, on considère le cas d'un métal (une seule sorte d'atome); cet atome est assimilé à une sphère dure de rayon R. Le problème se ramène alors à examiner comment des sphères toutes identiques peuvent s'empiler (on considère que l'état solide est obtenu quand les sphères ont une position relative fixe, même si elles vibrent légèrement autour de leur position d'équilibre en raison de l'énergie d'origine thermique).
La compacité $\tau \text{ }$ d'un édifice est représentée par le rapport du volume des sphères au volume de la maille qui les contient.
Un ensemble compact de sphères de rayon R disposées dans un plan conduit à ce que chaque sphère est tangente à 6 sphères voisines (on a un plan compact). Entre 3 sphères tangentes se trouve formé un creux dans lequel une sphère pourrait venir se poser (remarquer que dans un plan, la moitié seulement des creux peuvent être occupés simultanément).
On distingue 2 manières d'empiler verticalement les plans compacts, sachant qu'un plan compact se pose dans les creux formés par le plan compact précédent (un plan compact occupant la même position qu'un plan déjà présent reprendra le même nom):
On ne retrouve un plan identique au premier plan A qu'au 4ème plan. Chaque sphère est tangente à 12 sphères voisines (3/6/3). C'est l'empilement cubique faces centrées. On peut voir la filiation géométrique entre l'empilement ABCA.. créé et la maille cubique faces centrées (tournez la tête). Il y a 4 sphères dans la maille cubique F et les sphères sont tangentes suivant la diagonale de la face du cube ($a\sqrt{2}=4R$). Alors : $$\tau =\frac{4\times \frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}}{{{a}^{3}}}=\frac{\pi \sqrt{2}}{6}=0.74$$ Le Cuivre métallique adopte cet arrangement. |  |
On retrouve un plan identique au premier plan A dès le 3ème plan. C'est l'empilement hexagonal compact $a=2R\text{ et }c=\frac{4R\sqrt{6}}{3}$). Le principe d'empilement (un plan compact posé sur un autre plan compact) étant identique, la compacité est la même ($\tau \text{ }=0,74$). Le cobalt métallique $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ adopte cet arrangement. |  |
Remarque :
Il existe bien sûr d'autres empilements moins compacts réalisés par des plans moins ou non compacts
(la variété $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ du fer métallique est cubique centrée,$\tau \text{ }=0,68$).
