L'état solide périodique

Le trièdre de référence (direct) est construit sur 3 vecteurs $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$  issus de l'origine O.

- Le produit scalaire : $S={{\vec{v}}_{1}}\cdot {{\vec{v}}_{2}}={{v}_{1}}\cdot {{v}_{2}}\cos ({{\vec{v}}_{1}},{{\vec{v}}_{2}})$

Remarque : le produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux est nul.

- Le produit vectoriel : ${{\vec{v}}_{3}}={{\vec{v}}_{1}}\times {{\vec{v}}_{2}}={{v}_{1}}\cdot {{v}_{2}}\sin ({{\vec{v}}_{1}},{{\vec{v}}_{2}})\cdot \vec{j}$

Remarque : le produit vectoriel de 2 vecteurs parallèles est nul.

Le nœud représente l'ensemble minimum de propriétés que les vecteurs $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ du référentiel répètent par translation. La périodicité est à :

• 1 dimension (1D) si 1 vecteur $\vec{a}$ suffit,

• 2 dimensions (2D) si 2 vecteurs $\vec{a},\vec{b}$ suffisent,

• 3 dimensions (3D) si 3 vecteurs $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$  sont nécessaires,

pour représenter l'ensemble des nœuds à partir du nœud origine.

La répétition des nœuds dans l'espace (par le(s) vecteur(s) qui définissent la périodicité) forme un réseau de nœuds que l'on peut décrire par des mailles (volume), des rangées (vecteurs) ou des plan réticulaires (plans) selon la manière dont on analyse cet espace de nœuds.

La maille est l'ensemble de nœuds constitué par la translation ${{\vec{t}}_{uvw}}=u\vec{a}+v\,\vec{b}+w\,\vec{c}\,\,\,\,;\,\,(u,v,w\,=0,\,1)$ après avoir choisi les vecteurs de base $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ et le nœud origine (connaissance indépendante). Un même espace de nœuds peut être décrit par des mailles différentes (voir figure). Une maille est :

• simple (Primitive) si elle ne possède que des nœuds à ses sommets: 8 sommets (4 dans un référentiel bidimensionnel), chacun d'entre eux étant partagé par 8(4) mailles 8 x 1/8 = 1 nœud/maille (4 x 1/4 = 1 nœud/maille) . On parle d'un réseau P (c'est le mode de réseau), une seule translation ${{\vec{t}}_{uvw}}=u\vec{a}+v\,\vec{b}+w\,\vec{c}\,\,\,\,;\,\,(u,v,w\,=0,\,1)$ s'applique au nœud origine; il suffit de connaître ce nœud et le référentiel pour tout connaître.

• multiple si elle possède des nœuds supplémentaires (sur les arêtes, les faces ou à l'intérieur de la maille).

La rangée est un vecteur défini par ${{\vec{t}}_{uvw}}=u\vec{a}+v\,\vec{b}+w\,\vec{c}\,\,\,$ avec u, v, w entiers et premiers entres eux.

• L'ensemble des nœuds peut être vu comme résultant de l'application de rangées au nœud origine.

• On rappelle que le module de la rangée ${{\vec{t}}_{uvw}}$ s'obtient à partir du produit scalaire ${{\vec{t}}_{uvw}}\cdot {{\vec{t}}_{uvw}}$.

Le plan réticulaire est un plan qui passe par des nœuds. Les indices de Miller (h, k, l; entiers) caractérisent la position du plan dans l'espace et se définissent par rapport au premier plan voisin de l'origine:

Un plan ( h k l ) découpe sur les axes les segments OA=a/h, OB=b/k, OC=c/l. Si le plan ne coupe pas un axe (il est parallèle à l'axe), l'indice est nul. Le plan réticulaire (120) est parallèle à $\vec{c}$.

L'équation d'un plan d'ordre m s'écrit : $h\frac{X}{a}+k\frac{Y}{b}+l\frac{Z}{a}=m$.

Pour qu'un nœud (u, v, w; X=ua, Y=vb, Z=wc) soit dans ce plan, on doit avoir hu +kv +lw = m. Le triplet ( hkl ) définit en fait une famille de plans réticulaires ($-\infty \le \text{ }m\text{ }\le +\infty $ ) dont le plan d'ordre m=0 passe par l'origine.

Dans le dessin ci-contre, on peut voir divers plans réticulaires: (234), (112), (110) respectivement ABC, PQR et PSTQ ; les faces de la maille sont respectivement (100), (010), (001) dans les directions $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$.