Optique géométrique

Aberrations géométriques

Focales et caustiques

Normales à une surface

Le théorème de Malus indique que les rayons sont normaux aux surfaces d'onde. L'étude des trajectoires des rayons est donc liée à l'étude des normales à une surface.

Le rayon ON est normal à la surface d'onde Σ.
Un plan Π contenant ON coupe la surface Σ selon une courbe σ dont le centre de courbure est ω.
Quand on fait tourner Π autour de ON, Oω passe par un maximum Oω2 et un minimum Oω1.
Les sections correspondantes de Σ par Π, S2 et S1 sont orthogonales.

Ces sections sont les sections principales de Σ et Oω1 et Oω2 sont les rayons de courbures principaux pour le point O.

Les courbes S1 et S2 sont des lignes de courbures principales de la surface Σ.

Pinceau lumineux

On étudie le pinceau qui s'appuie sur la surface d'onde Σ. La normale ON en O est le rayon principal du pinceau. La normale en un point A quelconque de Σ ne coupe pas en général ON. Par contre si le point A se trouve sur l'une des lignes de courbures principales alors les normales en O et A se coupent en α dans le plan Π1 = AON en un point voisin de ω1. Quand A décrit S2 = A1B1 alors α1 décrit α1β1.

Si A décrit S1, α décrit une courbe normale à α1β1 et quand le point A est quelconque, les points α décrivent une surface normale à Π1 dite nappe tangentielle. Tous les rayons issus de Σ passent à proximité de ω1.
On peut reproduire cette analyse pour l'autre ligne de courbure principale et constater que tous les rayons issus de Σ passent aussi à proximité de ω2.
En résumé, si l'on balaie la surface d'onde, les rayons issus de Σ enveloppent deux surfaces qui constituent la caustique du faisceau. Cette surface correspond à une zone d'accumulation de lumière.
D'un point de vue géométrique, la caustique est la courbe enveloppe des rayons lumineux.
Pour un système parfaitement stigmatique, tous les rayons passent par un point.

Sections du faisceau par un écran

En optique géométrique, il y a deux cas particuliers importants :

Système centré et point objet sur l'axe : les rayons qui s'appuient sur un parallèle de la surface d'onde forment une nappe conique dont le sommet est A' point image de A dans approximation de Gauss.
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Système centré et point objet hors de l'axe : Le système possède un plan de symétrie (plan contenant l'axe et le point A). Ce plan est aussi un plan de symétrie pour la caustique.

Si on déplace un écran normalement au rayon moyen ON en partant de O, la section du faisceau s'aplatit progressivement et au voisinage du premier centre de courbure elle a l'aspect d'une droite. Ensuite elle s'élargit puis s'aplatit à nouveau et au voisinage du second centre de courbure, elle a à nouveau l'aspect d'une droite avant de s'élargir définitivement.

Ces deux droites orthogonales en elles et à ON sont les focales de faisceau

Dans le cas d'un point objet en dehors de l'axe la figure suivante donne l'aspect général des sections du faisceau par un écran normal au rayon principal.

La section est d'abord une ellipse dont le grand axe est parallèle au décalage du point source. Le petit axe diminue jusqu'à devenir pratiquement nul. Cette position correspond à la première focale. Le faisceau s'élargit et forme une zone pratiquement circulaire qui est le cercle de moindre diffusion puis l'élargit, donne la seconde focale orthogonale à la première et enfin s'élargit en donnant une section elliptique dont le grand axe est normal au grand axe initial.
La distance entre les deux focales peut servir à caractériser l'astigmatisme.

Il est évident que si on diminue la dimension de la surface d'onde (donc l'incidence des rayons marginaux), les focales se rapprochent et leurs longueurs diminuent car on se rapproche des conditions de l'optique paraxiale et du stigmatisme parfait.

Exemples de surface caustiques

Miroirs sphérique et cylindrique

Pour le miroir sphérique, on fait l'étude dans un plan contenant l'axe optique. Pour le miroir cylindrique, on se place dans un plan normal aux génératrices du cylindre.
On éclaire le miroir de rayon R par une source ponctuelle située soit à l'infini soit à distance finie. Dans le programme, les rayons sont tracés en utilisant les lois de la réflexion.
Positionner le point source (en jaune) en le glissant avec la souris puis glisser le point de réflexion (en vert) sur la trace du miroir. En faisant parcourir de nombreuses fois cette trace, on obtient le tracé de l'une des nappes de la caustique (enveloppe des rayons).
Si le point source est situé sur le cercle et sur l'axe, la caustique est une cardioïde dont les équations paramétriques sont : x = (2/3).R.(1 + cos t).cos t et y = (2/3).R.(1 + cos t).sin t.
Si le point source est situé sur l'axe à l'infini la caustique est une néphroïde d'équations paramétriques :
x = R.cos t.(1 + ½.sin2t) et y = R.sin3t.
Cette courbe présente un point de rebroussement en (−R/2, 0) qui correspond au foyer du miroir (point cyan).

Noter que pour un miroir parabolique si la source est à l'infini tous les rayons réfléchis passent par le foyer (point blanc) de la parabole.
Si la source est placée au foyer tous les rayons réfléchis sont parallèles à l'axe de la parabole.

Lentilles convergentes

On examine les caustiques de lentilles convergentes éclairées par un faisceau de lumière monochromatique parallèle à l'axe optique. Le système ayant la symétrie de révolution autour de l'axe optique la caustique possède également cette symétrie.
L'une des nappes est la portion de l'axe optique comprise entre l'image paraxiale du point à l'infini et l'image de ce point donnée par les rayons les plus extrêmes.
L'autre nappe est la courbe enveloppe des rayons. Sa section dans le plan de figure est calculée numériquement à partir de l'équation des rayons.
On peut noter que pour la lentille boule, il existe une caustique interne et une externe.

Classification des aberrations

Les aberrations caractérisent l'écart entre l'image réelle et l'image prédite par l'optique géométrique paraxiale. Leur étude peut être conduite soit à partir des lois de Descartes soit à partir de la théorie ondulatoire de la lumière.

Dans le modèle géométrique la construction des rayons fait appel à des fonctions non linéaires simples (sinus, tangentes...). Au moyen de développements limités, il est possible de caractériser l'écart entre le rayon réel et le rayon idéal par un polynôme. Dans cette approche développée en 1857 par L. von Seidel le terme d'ordre un correspond au rayon obtenu à partir des lois de l'optique paraxiale..
Les aberrations peuvent être caractérisées par une somme de polygones dont chaque terme correspond à un type bien particulier d'aberration.

Dans le modèle ondulatoire les aberrations sont caractérisées par l'écart entre le plan d'onde réel et le plan d'onde idéal. En 1936, F. Zernike a développé une description des aberrations sous forme d'une somme de polygones dont chaque terme décrit un type d'aberration. Les progrès de l'optoélectrique permettent de réaliser les analyseurs de front d'onde en temps réel qui rendent possible la correction des aberrations au moyen d'optique adaptative.

On considère un système optique dont le diaphragme d'ouverture est figuré par une pupille circulaire. Un système parfait donnerait d'un objet vertical AB de hauteur y une image A'B' = y' et tous les rayons issus de B passeraient par le point B' déduit de B par les lois de l'optique paraxiale : y' = γ.y

Les rayons hors du domaine paraxial ne passent en général pas par B'. Un rayon issus de B qui traverse la pupille d'entrée en I traverse le plan de front y'A'z' en J. Dans le plan y'B'z', les coordonnées de J sont y + dy' et dz'.
dy' et dz' sont fonction des coordonnées h et α du point I.
Comme le système possède la symétrie de révolution autour de l'axe optique, si on change y' en −y' et h en −h on change dy' et dz' en −dy' et −dz' : dy' et dz' sont des fonctions impaires et leurs développements limités en fonction de y' et h ne contiennent que des termes impairs.

Les termes de premier degré du développement sont nuls puisque B' est l'image de B dans le domaine paraxial. Les termes du troisième degré correspondent aux aberrations du troisième ordre qui sont nommés :

aberration sphérique (terme en h³)
coma (terme en h²y')
astigmatisme et courbure de champ (terme en hy'²)
distorsion (terme en y'³)

Les termes d'ordre supérieur sont en général négligeables devant ceux du troisième ordre.

Aberration sphérique

Cette aberration (terme en h³) est la seule présente si le point objet est sur l'axe. Les faisceaux et les surfaces d'onde sont de révolution autour de l'axe optique. La caustique est également de révolution.
On examine le cas des lentilles sphériques.
Quand le rayon issu de A passe d'une incidence nulle à l'incidence maximum, le point objet passe du point A' au point A'1. A'A'1 est la nappe sagitale de la caustique (tracée en bleu).
A'A'1 est l'aberration longitudinale de sphéricité. Elle est fonction de l'ouverture de la lentille.
La nappe tangentielle (tracée en rouge) à la forme de l'embouchure d'une trompette.

Le schéma présente l'aspect de la section du faisceau de sortie par un plan normal à l'axe optique. Les cercles tracés en rouge correspondent à l'intersection de la nappe de la caustique avec l'écran.

Aberrations des lentilles convergentes

On étudie diverses lentilles dont les rayons de courbures des faces des lentilles ont été choisis pour avoir dans tous les cas une distance focale voisine de 39 cm.

Pour l'étude de l'aberration de sphéricité, il faut prendre un angle Ψ nul.

En cochant la case "Écran", on obtient l'intersection des rayons d'un faisceau parallèle de rayon R avec un écran normal au rayon.
Les rayons des pinceaux sont : jaune 10 cm, vert 8 cm, rouge 6 cm, cyan 4 cm, blanc 2 cm.
En déplaçant l'écran, chercher à obtenir la taille minimale de l'image qui correspond au plan focal.
On constate que la forme de la lentille influe fortement sur l'aberration sphérique.
On voit que dans le cas d'un objet à l'infini, il faut placer la face dont le rayon de courbure est le plus grand du coté de l'écran. On montre que pour une lentille d'indice 1,5, l'aberration est minimum si les rayons de courbures sont tels que R2 = − R1 (lentille 28, −188)
On constate également que le fait de diaphragmer la lentille diminue l'aberration sphérique.

Corrections de l'aberration sphérique

L'aberration longitudinale étant négative pour les lentilles convergentes et positives pour les lentilles divergentes, on peut envisager de diminuer cette aberration par l'association de lentilles de nature différente. Il est même possible de corriger en même temps l'aberration chromatique. En augmentant le nombres de lentilles, on augmente le nombre des paramètres ajustables et il est possible au prix de calculs complexes de déterminer des systèmes pratiquement exempt d'aberration.

Lentilles asphériques
Ce type de lentilles permet de corriger parfaitement l'aberration sphérique pour des rayons parallèles à l'axe et est utilisé pour fabriquer des condenseur et des lentilles de projection à grande distance.

On examine le cas d'une lentille asphérique plan-convexe. Pour supprimer l'aberration, il faut que le chemin optique pour un rayon issu de S et qui émerge parallèle à l'axe optique soit indépendant de l'angle d'incidence i sur la face plane ( i = ∠OSB) : L = SB + n.BC − CD = K = constante
On pose : n indice de la lentille, f = SO, x = DC, y = OD. L'angle r =∠EBC est tel que sin(i) = n.sin(r)
On obtient : f / cos(i) + x.(n / cos(r) − 1) = K.
Soit x = (K.cos(i) − f) / [cos(i).(n / cos(r) − 1 )].
Si x = 0, les points B, C et D sont confondus en P. On pose imax = ∠OSP. On tire K = f / cos(imax)
On a aussi y = OB + BD = f.tg(i) + x.tg(r).
Il est ainsi possible de tracer point par point le profil Π de la lentille plan-convexe donnant à partir d'une source ponctuelle placée en S, un faisceau parallèle à l'axe optique.
On constate que l'épaisseur de la lentille croît beaucoup plus vite que son rayon. Il est possible de construire par moulage des lentilles de petites tailles. On trouve ce type de lentilles dans les condenseurs des projecteurs.
Par contre il est impossible d'envisager la construction de lentilles de grandes dimensions à cause de leur masses.

Fresnel chargé de l'amélioration de l'éclairage par les phares a eu l'idée de remplacer la surface Π de grand rayon par des échelons de révolution autour de l'axe limités par la fraction de la surface Π proche de la face plane. On obtient une lentille à échelons, beaucoup plus légère et plus facile à fabriquer.
Si A est l'angle d'émergence en C, le plan tangent avec la surface Π et la face plane de la lentille forme un prisme d'angle au sommet A. Si on multiplie le nombre des échelons, il est possible de donner à chacun la forme d'un prisme d'angle au sommet A tel que : A = arctan[sin(i) / (n.cor(r) − 1) ] . C'est la solution retenue pour les rétro-projecteurs dont la lentille du condenseur comporte plusieurs dizaines d'échelons.

Il est aussi possible d'associer lentilles et miroirs dont les aberrations se compensent. C'est le cas du projecteur de Mangin et du télescope de Maksoutov.

Coma

Les termes de coma sont proportionnels à la taille y' de l'image et au carré de l'ouverture h.

Si le point source est en dehors de l'axe, l'image a la forme d'une aigrette ou d'une queue de comète d'ou le nom donné par les astronomes à cette aberration.
Pour l'observer, placer l'écran à environ 39 cm pour observer la meilleure image avec le point sur l'axe puis faire varier l'angle Ψ. On peut constater que les lentilles qui présentent une forte aberration sphérique présentent également une forte coma.

Astigmatisme et courbure de champ

Ces aberrations correspondent au terme en hy'². Elles sont dont sensibles même à faible ouverture.

Astigmatisme

Pour l'observer, faire varier l'angle Ψ puis déplacer l'écran. La section est d'abord une ellipse dont le grand axe est parallèle au décalage du point source. Le petit axe diminue jusqu'à devenir pratiquement nul. Cette position correspond à la première focale. Le faisceau s'élargit et forme une zone pratiquement circulaire qui est le cercle de moindre diffusion puis l'élargit, donne la seconde focale orthogonale à la première et enfin s'élargit en donnant une section elliptique dont le grand axe est normal au grand axe initial.
L'astigmatisme résulte de la non confusion des focales en un point unique.
On peut encore constater que les lentilles qui présentent une forte aberration sphérique présentent également un fort astigmatisme.

Courbure de champ

L'image optimale qui correspond au cercle de moindre diffusion se forme entre les deux focales dont la position dépend de l'inclinaison des rayons.
La courbure de champ résulte du fait que la meilleure image possible d'un objet plan ne se forme pas dans un plan mais sur un surface courbe.

La correction est souvent difficile à réaliser sauf si l'écran est courbe : c'est ce qui se produit naturellement dans l'œil.
Certains fabricants de capteurs réalisent maintenant l'assemblage des pixels sur des surfaces courbes.

Distorsion

Il y a distorsion quand le grandissement linéaire n'est pas constant dans le plan objet. Elle se traduit par une déformation de l'image.
La distorsion résulte du fait que les rayons traversant les bords de la lentille sont plus déviés que ceux passant au voisinage du centre de la lentille.
Pour la mettre en évidence, on forme l'image d'un objet étendu en utilisant un petit diaphragme pour limiter l'influence des autres aberrations.

Diaphragme collé à la lentille :
Tous les rayons passent au voisinage du centre optique et ne sont pas déviés. L'image de la grille n'est pas déformée. Pour une position donnée, on obtient une image nette de la partie centrale de la grille alors que les bords sont flous. En rapprochant l'écran de la lentille, on obtient une meilleure image des bords mais la partie centrale est floue. Ceci correspond à la courbure de champ.

Diaphragme avant la lentille : L'image de la grille est déformée. En effet pour une lentille convexe les rayons marginaux sont plus déviés que les rayons centraux. Le grandissement diminue pour les points éloignés du centre optique. C'est la distorsion en barillet.

Diaphragme après la lentille : L'image de la grille est déformée. Le grandissement augmente quand on s'éloigne de l'axe. C'est la distorsion en croissant.

Une méthode simple pour supprimer la courbure de champ est d'utiliser un système symétrique et de placer le diaphragme au milieu. La distorsion de la partie avant est annulée par celle de la partie arrière.

Exemple

On utilise une lentille plan-convexe de rayon R = −22 cm d'épaisseur au sommet 5,9 cm et d'indice 1,6 et avec elle on forme l'image d'une grille carrée de 40 cm de côté sur un écran.
L'origine de l'axe optique Oz est située sur la face plane de la lentille.
Le trou circulaire du diaphragme a un diamètre de 3 cm.
Pour construire l'image, on considère pour chaque nœud de la grille les 4 rayons extrêmes qui traversent le diaphragme dans les plans xOz et yOz et on cherche leur intersection avec le plan de l'écran. (plan parallèle au plan xOy situé à la distance z de l'origine).
Avec ce modèle, l'image d'un nœud de la grille est une surface contenant ces 4 points.
Choisir la position du diaphragme.
Examiner le tracé des rayons utiles.
En mode "Écran", la grille objet est représentée dans le cadre turquoise et la grille objet dans le cadre bleu
Cocher la case [Écran] pour observer l'image et faire varier la position de l'écran.
Observer la déformation des taches en fonction de la position de l'écran et visualiser ainsi la courbure de champ.