Optique géométrique

Systèmes centrés

Après l'étude des miroirs et des dioptres il est possible d'entreprendre l'étude de systèmes optiques complets qui sont constitués par l'association de tels éléments dont les centres sont situés sur un même axe. Dans le cadre de l'approximation de Gauss ce sont des systèmes linéaires. Pour chaque surface, l'image d'un objet plan normal à l'axe optique est plane et normale à l'axe. Sa position et sa dimension se déduisent de celles de l'objet par les formules de conjugaison et de grandissement. Le premier dioptre (ou miroir) donne de l'objet AB une image A1B1 qui sert d'objet pour le second dioptre... En progressant ainsi de proche en proche, il est possible de déduire la position et la dimension de l'image finale.
De même en appliquant la relation de Lagrange-Helmholtz de proche en proche :
N.AB.α = N1.A1B1.α1 = N2.A2B2.α2 = ... = Nn.AnBn.αn = N'.A'B'.α'
on déduit : N.AB.α = N'.A'B'.α'

Éléments cardinaux

Foyers et plans focaux

Si le point objet A est à l'infini, la position du point image A' est nommée foyer principal image F'.
F' est le conjugué du point objet à l'infini.
Un faisceau incident parallèle à l'axe converge vers F'.
Le plan normal à l'axe passant par F' est le plan focal image.
Le foyer principal objet F est le conjugué du point image situé sur l'axe à l'infini.
Le plan normal à l'axe passant par F est le plan focal objet.

Un faisceau issu de F émerge en un faisceau parallèle à l'axe optique.

Si les foyers sont à distances finies, le système est dit à foyers sinon il est dit afocal. C'est le cas des systèmes qui donnent d'un objet à l'infini une image également à l'infini tels que les lunettes et les télescopes.

Plans principaux

Les plans principaux sont les plans conjugués dont le grandissement linéaire est +1.
Si l'objet AB est dans le plan principal objet, son image A'B' est dans le plan principal image. L'image est droite et AB = A'B'.
Un rayon DE parallèle à l'axe émerge selon GF'. Un rayon FA issu du foyer objet émerge selon BC parallèle à l'axe optique.

Les rayons incidents et émergents se coupent en K et K' et on a HK = H'K'.
K et K' sont conjugués et de grandissement +1.

Le plan principal image P' est le lieu des points K' intersection des incidents parallèles à l'axe et des émergents correspondants. Le plan principal objet P est le lieu des points K intersections des incidents passant par le foyer objet F et des émergents correspondant parallèles à l'axe.
Les intersections des plans principaux avec l'axe optique sont les points principaux H et H' .

Distances focales

Par définition la distance algébrique HF = f est la distance focale objet et la distance algébrique H'F' = f ' est la distance focale image.

Propriétés des distances focales
On place un objet AF dans le plan focal objet. Le rayon parallèle à l'axe passant par A coupe les plans principaux en B et B'.
On a :HB = H'B'.
Le rayon AH fait l'angle α avec l'axe.
L'émergent correspondant H'U fait l'angle α' avec l'axe.
La relation de Lagrange-Helmholtz appliquée à H et H' donne :
N.HB.α = N'.H'B'.α' soit N.α = N'.α'

Dans le triangle AHF, on a FA = HF.α = f.α. Dans le triangle B'H'F', on a H'B' = FA = − H'F'.α' = − f '.α'
On déduit : f.α = − f '.α'

Finalement on obtient les relations f / f ' = − n / n' et n' / f ' = − n / f = V
La quantité V est la vergence du système. On l'exprime en dioptries (m⁻¹).

Les distances focales sont de signes opposés.
Si les milieux extrêmes sont identiques les distances focales sont opposées.

Si un système transforme un faisceau parallèle en faisceau convergent, il est convergent et sa vergence est positive.

Construction des images

De B on trace un rayon parallèle à l'axe. Il coupe le plan P en I et émerge suivant I'F'.
Le rayon BF coupe P en J et émerge parallèle à l'axe.
intersection des deux émergents donne le point image B'.

Cas particulier B est à l'infini.
Il suffit dans ce cas de tracer le rayon BF et son émergent JJ'.
L'image B' de B est à l'intersection de II' et du plan focal image.

Formules de conjugaison

Origines aux foyers

Les triangles ABF et FHJ étant semblables, on a HJ / AB = FH / FA.
De même pour les triangles I'H'F' et B'A'F', on a A'B' / H'I' = F'A' / F'H'
Or HJ = A'B' et AB = H'I'.

On en déduit la relation de conjugaison (formule de Newton) FA.F'A' = HF.H'F'

Origines aux points principaux

HA = HF + FA et H'A' = H'F' + F'A'
FA = HA − HF et F'A' = H'A' − H'F'
En reportant dans la relation de Newton, on tire HA.H'A' = HF.H'A' + H'F'.HA.
Or HF / H'F' = − n / n'.

On déduit : n' / H'A' − n / HA = − n / HF = n' / H'F' = V

Grandissements

Le grandissement linéaire est γ = A'B' / AB = − HF / FA = − F'A' / H'F'

Le grandissement angulaire est G = α' / α = n.AB / n'.A'B'.

Le produit G.γ vaut n / n' : il est constant.

Cas particuliers

Objet à l'infini de diamètre apparent θ
Le faisceau incident arrive sous l'incidence θ
A'B' = HJ = FH.θ = − f.θ
L'image est contenue dans le plan focal image et A'B' = − f.θ

Objet dans le plan focal objet
L'émergent fait l'angle θ' avec l'axe.
AB = H'I' = H'F'.θ' = f'.θ'
L'image est à l'infinie et elle est vue sous l'angle θ' = AB / f '

Points antiprincipaux et nodaux

Points et plans antiprincipaux

Les plans antiprincipaux sont les plans conjugués de grandissement − 1.
Les points antiprincipaux sont les intersections des plans antiprincipaux avec l'axe optique.

Pour que A'B' = − AB, il faut que les triangles I'H'F' et B'A'F' soient égaux (AB = H'I').
Ceci implique H'F' = F'A'
On montre de même que HF = FA

Les plans antiprincipaux sont les symétriques des plans principaux par rapport aux foyers.

Points nodaux

Les points nodaux N et N' sont deux points conjugués de l'axe optique tels qu'à tout rayon incident passant par le point nodal objet, correspond un rayon émergent passant par le point nodal image et parallèle au rayon incident.

On considère un point A du plan focal objet. Un rayon AI parallèle à l'axe émerge selon I'F'. Le rayon parallèle à I'F' issu de A coupe l'axe en N. Les triangles AFN et I'H'F' sont égaux.
On en déduit que FN = H'F'
La position de N est indépendante de la position de A.

On montre de même que F'N' = HF .

Soit N' le conjugué de N. NN'L'L est un parallélogramme donc NN' = LL' = HH' = d.
d est l'interstice du système.

Quand les milieux extrêmes sont identiques f = − f ' et les points nodaux sont confondus avec les points principaux.

Association de systèmes centrés

On associe deux systèmes centrés dont on connaît les éléments cardinaux en faisant coïncider leurs axes optiques et on cherche quels sont les éléments cardinaux du système global.
L'indice du milieu incident est N1, celui du milieu de sortie N2 et l'indice du milieu intermédiaire N.

Position des foyers

On trace (rayon rouge) un incident parallèle à l'axe : il coupe l'axe en F'1. Après traversée du second système, il émerge en passant par F' foyer image final. F' est le conjugué de F'1 dans le système 2.
On peut donc écrire que F'2F' = f2.f '2 / F2F'1
De même pour le foyer objet on a : F1F = f1.f '1 / F'1F2.

Distances focales

Si l'objet est situé à l'infini et de diamètre apparent θ (rayon bleu), on a vu que l'image est contenue dans le plan focal image et que sa dimension est donnée par A'B' = − f.θ
L'image intermédiaire donnée par le système 1 est F'1B'1 = − f1.θ
Le grandissement du système 2 est γ = − H2F2 / F2A2
On pose Δ = F'1F2.
L'expression de ce grandissement s'écrit γ = f2 / Δ
La dimension de l'image finale est donc A'B' = − f1.f2.θ / Δ = − f.θ

Finalement, on en déduit la valeur de la distance focale f = f1.f2 / Δ

Un raisonnement identique conduit à f ' = − f '1.f '2 / Δ

On a f '1 / f1 = − N / N1 et f '2 / f2 = − N2 / N ce qui implique f ' / f = − N2 / N1

Si les milieux extrêmes sont identiques, les distances focales sont opposées

Formule de Gullstrand

Les vergences des systèmes sont :
V1 = − N1 / f1 = N / f '1
V2 = − N / f2 = N2 / f '2
V = N2 / f = − N2.Δ / f '1.f '2
On définit l'intervalle du système par e = H'1H2. Donc Δ = F'1F2 = − f '1 + f2 + e

On tire V = V1 + V2 − V1.V2.e / N qui est la relation de Gullstrand.