Optique géométrique
L'œil et la vision
Anatomie de l'œil
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L'œil est un globe de diamètre voisin de 25 mm limité par une membrane résistante, la sclérotique dont la partie avant est une calotte transparente qui constitue la cornée. L'intérieur de la sclérotique est recouvert par la choroïde qui à l'avant de l'œil se transforme en muscle ciliaire. L'intérieur de la cavité est séparée en deux compartiments par la cristallin qui est suspendu par le muscle ciliaire. La zone antérieure d'épaisseur 4 mm est remplie par l'humeur aqueuse, liquide transparent d'indice 1,336. La zone postérieure est remplie par une substance gélatineuse d'indice 1,336 l'humeur vitrée, |
Le cristallin est précédé par une membrane colorée l'iris. Celui-ci est percé par un diaphragme la pupille dont le diamètre varie entre 2 et 8 mm. Le cristallin est équivalent à une lentille convergente dont la forme varie sous l'effet du muscule annulaire.
L'intérieur de la choroïde est
tapissé par la rétine, épanouissement du nerf optique, constituée de cellules nerveuses sensibles à la lumière. Ces cellules sont de deux types les cônes et les bâtonnets. L'œil humain comporte environ cinq millions de cônes et 120 millions de bâtonnets.
Comme la sensibilité des cônes et des bâtonnets sont différentes, la sensibilité de la rétine est variable. La macula, ou tache jaune est la partie arrière de la rétine (zone de diamètre 2 mm ou se forme l'image optique). Elle est riche en cônes. La fovea de diamètre 0,3 mm située au centre le la macula, est uniquement constituée de cônes. La papille ou zone aveugle, dépourvue de cônes et de bâtonnets, correspond à l'endroit ou le nerf optique sort de l'œil.
L'œil humain comporte trois types de cônes sensibles à trois zones de longueur d'onde. Notre vision des couleurs est de type trichromique (Rouge, vert et bleu). Pour beaucoup d'animaux la vision est de type dichromique mais des oiseaux sont dotés d'une vision quadrichromique (vision dans le proche ultra-violet).
Les bâtonnets participent à la vision grossière et à la vision nocturne.
Éléments cardinaux de l'œil
On peut considérer que l'œil est constitué de 4 dioptres sphériques dont les centres sont situés sur l'axe visuel. Cet axe touche la rétine environ 5° au-dessus de la fovea.
- Dioptre air- face avant de la cornée.
- Dioptre face arrière de la cornée-humeur aqueuse.
- Dioptre humeur aqueuse-face avant du cristallin.
- Dioptre face arrière du cristallin-humeur vitrée.
Les deux premiers (cornée) sont équivalent à une lentille convergente
de 40 dioptries.
Les deux derniers (cristallin) sont équivalents à une lentille convergente de 20 dioptries.
La convergence de l'ensemble est de l'ordre de 60 dioptries.
Compte tenu de la distance d'observation des objets et des dimensions de la pupille, les rayons qui forment l'image sur la rétine sont peu inclinés sur l'axe et les conditions de Gauss sont satisfaites. On peut donc définir les propriétés optiques de l'œil normal par ses éléments cardinaux.
Pour un observateur moyen observant un objet éloigné, on obtient les valeurs suivantes :
- Foyer image F' : situé sur la rétine.
- Foyer objet F : situé 15 mm en avant de la cornée.
- Distance focale objet : HF = − 16,7 mm.
- Distance focale image H'F' = 22,3 mm
- Interstice HH' = NN' = 0,3 mm avec HN = H'N' = 5,6 mm
On peut noter que le rapport des distances focales f ' / f = −1,336 est bien l'opposé du rapport des indices des milieux extrêmes de l'œil.
L'œil réduit
Comme HH' est beaucoup plus petit que HN, on peut confondre H et H ' avec S ainsi que N et N' avec C.
Avec cette approximation, on peut réduire l'œil a un dioptre sphérique unique caractérisé par :
- Indices extrêmes air et 1,353
- Sommet S situé à 2 mm en arrière de la cornée.
- Rayon SC voisin de 6mm
- Distance focales f = SF = − 17 mm et f ' = SF' = 23 mm
Vision normale des objets
Champ de l'œil
Le champ de l'œil est l'ensemble des points dont l'image se forme sur la rétine. Ces objets sont contenus dans un cône d'angle au sommet 60° dont l'axe est l'axe optique.
Tout ces points sont visibles mais ne sont vus nettement que les objets dont l'image se forme sur la tache jaune. Ce sont les objets contenus dans un cône d'angle au sommet 1°.
Par contre avec la tête fixe mais en tournant les yeux dans les orbites, le champ de vision nette atteint environ 30° de part et d'autre de l'axe dans le sens horizontal et 25° dans le sens vertical.
Résolution de l'œil normal
La rétine étant formée de cellules, l'image sur la rétine du plus petit objet visible
à la dimension d'une cellule (environ 5 µm) ce qui correspond à un angle de vision de l'ordre de la minute.
La limite de résolution est la distance angulaire minimale existant entre deux points pour qu'ils soient vus séparés. Elle est voisine de 1,5° mais elle est fonction de l'éclairement
et du contraste entre l'objet et le fond.
Accommodation de l'œil normal
Comme le foyer image est situé sur la rétine, l'observateur voit nettement et sans effort les objets situés à l'infini. Avec un œil rigide les objets proches ne pourraient être vus nettement car leurs images se formeraient en arrière de la rétine. Or on constate que la vision nette des objets proches est possible : Il faut que lorsque l'objet se rapproche de l'œil, le foyer image se rapproche de la cornée.
Cette possibilité, flacon est un phénomène réflexe lié à la modification de la courbure du cristallin et à une variation de son indice sous l'action des muscles ciliaires. Cette contraction entraîne une fatigue.
L'accommodation est
limitée :
Pour l'œil au repos (sans accommodation), le point le plus éloigné vu nettement est le ponctum remotum R situé à la distance Δ = SR de la cornée. Pour un œil normal, ce point est situé à l'infini.
De même le point le plus proche vu nettement est le ponctum proximum P situé à la distance δ = SP de la cornée. Pour un individu âgé d'une vingtaine d'années P est situé à une distance de l'ordre de 20 cm. Il est possible de diminuer cette distance à 15 cm par un phénomène volontaire et au prix d'une fatigue visuelle importante.
La faculté d'accommodation diminue avec l'âge. En vieillissant, R se rapproche et P s'éloigne de la cornée.
L'œil est dit normal ou emmétrope si son ponctum remotum est situé à l'infini. Dans le cas contraire, il est dit amétrope.
Amplitude dioptrique d'accommodation
Au point P, la vergence est
1 / δ (négative) et en R elle est 1 / Δ.
L'amplitude dioptrique est définie comme étant la quantité A =
1 / Δ − 1 / δ.
- Si Δ et δ varient avec les observateurs A est sensiblement la même pour des individus du même âge.
- La quantité A mesure la convergence de la lentille qui accolée à l'œil donne du point P une image visible sans accommoder.
- L'amplitude dioptrique d'un œil n'est pas modifiée si place une lentille de vergence V au contact de celui-ci
En effet V = 1 / δ − 1 / δ' et V = 1 / Δ − 1 / Δ' et donc 1 / Δ − 1 / δ = 1 / Δ' − 1 / δ'.
Pour un œil normal A = 1 / 0,2 − 1 / ∞ = 5 dioptries
Persistance rétinienne
La persistance rétinienne est la capacité du cerveau à superposer une image déjà vue aux images que l'on est en train de voir. Elle résulte du temps de traitement biochimique des signaux optiques par la rétine et le cerveau. Elle est plus forte et plus longue si l'image observée est lumineuse.
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Cette propriété de l'œil est utilisée par le cinéma et la télévision pour donner l'impression d'un mouvement continu à partir d'une séquence d'images.
Dans ce petit programme, on affiche successivement un rectangle noir vertical sur fond jaune puis un rectangle noir horizontal sur fond cyan. Pour les vitesses d'affichage élevées, on a l'impression de voir une croix noire sur fond vert.
Un curseur permet de régler la durée entre deux affichages entre 10 et 300 ms.
Le rendu du programme est en fait fonction de nombreux paramètres : vitesse du processeur, vitesse de la carte graphique, vitesse de rafraîchissement du moniteur, activité du processeur ...
Amétropies et leurs corrections
Œil myope
C'est un œil
qui est trop profond pour sa convergence (rétine trop éloignée du cristallin) ou trop convergent pour sa profondeur (cristallin trop bombé). Sans accommodation, le foyer image est en avant de la rétine et il s'en éloigne encore si l'on accommode : Il est équivalent à un œil
normal précédé d'une lentille convergente.
Pour une myopie moyenne, la distance maximum de vision distincte
Δ est de l'ordre de 30 cm et la distance minimum de quelques centimètres.
Correction
On diminue la convergence en plaçant devant l'œil une lentille divergente telle que l'image d'un point à l'infini se forme sur la rétine : Sa distance focale est donc égale à
Δ. Comme l'amplitude dioptrique est constante, le ponctum proximum est ramené à une distance normale. L'étude des aberrations géométriques des lentilles montre que le meilleur choix est un ménisque divergent.
A cause de la correction, il faut accommoder davantage en vision de près : Un myope retire ses lunettes pour lire avec moins de fatigue.
Œil hypermétrope
C'est un œil
qui est trop peu profond pour sa convergence (rétine trop proche du cristallin) ou trop peu convergent pour sa profondeur (cristallin pas assez bombé). Sans accommodation, le foyer image est en arrière de la rétine mais il est possible de l'y amener en accommodant. Le ponctum proximum est situé plus en avant de l'œil alors que le ponctum remotum est situé en arrière de l'œil (il est donc virtuel).
Cet œil est équivalent à un œil
normal précédé d'une lentille divergente.
Correction
On augmente la convergence en plaçant devant l'œil une lentille convergente telle que l'image d'un point à l'infini se forme sur la rétine sans accommodation : Sa distance focale est donc égale à
Δ. Comme l'amplitude dioptrique est constante, le ponctum proximum est ramené à une distance normale. L'étude des aberrations géométriques des lentilles montre que le meilleur choix est un ménisque convergent.
L'hypermétrope doit conserver ses lunettes pour les objets éloignés car il les voit alors sans accommoder.
Œil presbyte
La faculté s'abordaient diminue avec l'âge Si le ponctum remotum reste fixe, le ponctum proximum s'éloigne de l'œil : La convergence maximum de l'œil diminue.
Correction
On augmente la convergence en plaçant devant l'œil une lentille convergente qui rapproche le ponctum proximum mais aussi le ponctum remotum.
- Œil normal : il faut utiliser des verres convergents pour la lecture et les retirer pour la vision éloignée ou utiliser des demi-verres.
- Œil myope : il faut utiliser des verres convergents pour la lecture et des verres divergents pour la vision éloignée.
La nécessité d'utiliser deux types de verres à amené les industriels à réaliser des verres bifocaux avec une zone divergente en haut et une zone convergente en bas puis des verres multifocaux qui supprime le problème de transition entre les zones.
Œil astigmate
Il arrive que les dioptres de l'œil ne soient pas sphériques mais de formes ellipsoïdales. L'œil possède alors deux plans de symétrie à 90° l'un de l'autre. La convergence n'est plus la même
dans toutes les directions. L'image d'un point n'est plus un point mais deux petites droites (les focales) contenues dans les plans de symétrie : la vision n'est pas nette.
Si un astigmate observe une mire constituée par les diamètres
d'un cercle, il ne peut voir net que deux diamètres perpendiculaires avec une accommodation différente pour chacun.
Le système formé par la combinaison d'une lentille sphérique et d'une lentille cylindrique est équivalent à un œil astigmate du point de vue de la formation des images.
La correction s'obtient en utilisant
la combinaison d'une lentille sphérique et d'une lentille cylindrique qui induiront des défauts inverses à ceux de l'œil à corriger.
Modèles de l'œil
L'œil réduit
On modélise l'oeil par un dioptre sphérique de rayon voisin de 5,5 mm séparant l'air extérieur d'un milieu d'indice n voisin de 1,333 et on suppose que l'accommodation se fait automatiquement.
Sur la partie supérieure du dessin le trait violet indique la distance entre les ponctum remotum (Pr) et proximum (Pp)
.
La partie inférieure correspond à une vue agrandie de l'œil simplifié et indique la construction des rayons. Le trait cyan correspond à un rayon qui passe par le centre optique du système avec ou sans correction. Le trait vert correspond à un rayon qui passe par le foyer objet. Le trait vertical orange correspond à la rétine. Le trait violet correspond à l'image de l'objet examiné. La vision est nette si cette image se forme sur la rétine.
Le programme affiche également le rayon du dioptre sphérique R de l'œil simplifié.
Ce rayon varie avec l'accommodation et avec la correction éventuelle placée devant l'œil.
Lentille simple
Dans ce modèle, on assimile l'œil à une lentille mince. L'œil n'est pas représenté à l'échelle.
La myopie est traduite par un œil "plus long" qu'un œil normal et l'hypermétropie par un œil plus court.
L'utilisateur doit agir sur le curseur [accommodation] pour réaliser celle-ci. Ce curseur modifie de façon linéaire la distance focale de la lentille qui schématise l'œil. Pour un œil presbyte l'amplitude possible de l'accommodation est limitée.
Si un verre correcteur est utilisé, il y a simplement addition des vergences.
Ce modèle rustique permet néanmoins d'examiner tous les cas de manière assez réaliste.
