Récréation
La méthode du cavalier :
Un carré magique est un tableau carré de côté N qui est rempli par la suite
des entiers de 1 à N2 afin que la somme des termes de toutes les
lignes et de toutes les colonnes soient égales à Mn. Quand la somme des diagonales
est également égale à Mn le carré est dit diabolique.
Pour les carrés de
côté impair, il existe un algorithme simple qui permet la construction
des carrés magiques et diaboliques : c'est la méthode du cavalier (du jeu d'échec)
découverte par Euler.
Description :
On choisit une case de départ
arbitraire (indices I de ligne et J de colonne) dans le carré et on y place
le 1.
On choisit les pas du cavalier (déplacement vers le bas de H lignes
et vers la droite de K colonnes) et on inscrit dans chaque case atteinte l'entier
suivant. Quand le déplacement amène en dehors du damier, on y retourne par une
translation de n cases.
Après n opérations, on retombe dans une case déjà
occupée. Au lieu du déplacement normal, on se déplace alors de L lignes vers
le bas et de M colonnes vers la droite. On reprend ensuite la marche normale.
Conditions sur les valeurs H, K, L et M :
Il faut que les couples
(H, K) et (L, M) soient différents.
Il faut que H, K, L et M soient tous
premiers avec N.
Il faut que le nombre (M.H − K.L) soit premier avec N.
Si
de plus les nombres (H + K), (H − K), (L + M) et (L − M) sont premiers avec
N alors le carré est diabolique.
Utilisation :
Le programme permet la détermination et l'affichage de
carrés magiques d'ordre impair. La valeur de Mn est également affichée.
Les
valeurs de N, I et J sont contrôlées par le programme. Il vous appartient
de rentrer des valeurs de H, K, L et M valides. L'entrée de valeur incorrectes
conduit à un carré qui contient des 0.
H = 1, K = 2, L = 0 et M = −1 conduisent
toujours sauf pour N multiple de 3 à un carré diabolique.
Référence : Le livre de René Descombes "Les carrés magiques" (éditions Vuibert 09-2000) constitue une bible pour les amateurs de carrés magiques.
En 1891 Edouard Lucas a proposé une méthode simple pour créer des carrés magiques de dimension 3. On choisit trois nombres entiers a, b et c tels que : 0 < a < b < c − a avec b ≠ 2.a Puis on place dans le tableau les valeurs obtenues à partir des relations indiquées en cochant la case "Formules". On voit que les somme des lignes, des colonnes et des diagonales valent toutes 3.c. |